用坐标计算面积

由坐标算面积的算术很短——对边界顶点跑一次循环，也就是鞋带公式——但难点并不在算术。难点在于这个公式假设坐标位于一个平面上，而经纬度不是。本文两件事都讲：方法本身，带真实数字算一遍；以及那些决定结果是准确到千分之一还是错出好几个单位的假设。

面积与地界更新于 2026年10月9日鞋带公式

鞋带公式

把边界顶点按顺序列出——顺时针或逆时针都行，但绝不能混着来——并在末尾重复第一个顶点把环闭合。然后求交叉乘积之和：

A = ½ × |Σ (xᵢ · yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ · yᵢ)|

取绝对值是因为这个和的符号告诉你的是绕行方向，顺时针还是逆时针，而不是面积大小。如果顶点顺序错了，公式仍然会返回一个数，而这个数没有意义——边界自交了。核对多边形是否被描成一条简单闭合的环，是这份工作的一部分，不是走形式。

完整算例

取一块四边形地块，投影坐标为米，按逆时针列出： (0, 0)、(100, 0)、(120, 80)、(10, 90)。

顶点对	xᵢ · yᵢ₊₁	xᵢ₊₁ · yᵢ	差值
(0,0) → (100,0)	0 × 0 = 0	100 × 0 = 0	0
(100,0) → (120,80)	100 × 80 = 8,000	120 × 0 = 0	8,000
(120,80) → (10,90)	120 × 90 = 10,800	10 × 80 = 800	10,000
(10,90) → (0,0)	10 × 0 = 0	0 × 90 = 0	0
差值之和			18,000

面积 = ½ × 18,000 = 9,000 m²。也就是 0.9 公顷，或者说 2.2239 英亩，因为一英亩是 4,046.8564224 m²。换成英制，9,000 m² 是 96,875.2 ft²，除以 43,560 得到同样的 2.2239 英亩。

投影带来的问题

格网面积与实地面积不是一回事，两者的差距来自投影。投影坐标是一个可展开曲面被展平之后的平面位置，也就意味着这个平面相对实地要么被略微拉伸、要么被略微压缩。这个比值就是长度比（scale factor），而面积按它的平方变化。

实地面积 ≈ 格网面积 ÷ (长度比)²

对 UTM 坐标而言，长度比在中央子午线上是 0.9996，向带边缘逐渐增大，所以平面在中间是压缩的，中央处的格网面积比实地面积小约 0.08%，越往外则逐渐转为略大。在一英亩的地块上这是几平方英尺；在 640 英亩的一个「section」上，那几乎是整整一英亩—— 按百分比看很小，按房产交易的计价单位看则很大。

更大的问题在于把经纬度直接喂进公式。度不是线性距离：一度经度在赤道约 111.32 km，在纬度 45° 处约 78.85 km。把鞋带公式用在原始度数上，得到的数其单位是「平方度」，再用一个固定系数把它换算成面积，只在一小块已知纬度的区域上大致正确。只要比一块地更大，或者结果要与地契比对，就先投影。

一个很有用的量级校核。一英亩的正方形边长 208.71 英尺，约 63.6 米。一个 section 是一平方英里——640 英亩、2.59 km²。如果算出来的面积隐含一个与你看到的实地形状对不上的图形，出问题的几乎总是顶点顺序或投影不匹配，而不是鞋带公式本身。

把顶点顺序搞对

坐标清单到手时的顺序取决于数据源。有的从起始点（point of beginning）开始，像地契那样顺时针走；有的完全没有排序。两项诊断能在面积报出之前抓住大部分问题。第一，把图形画出来——自交的多边形在图上一看就知道，在数字里却看不出来。第二，把由坐标清单算出的周长与所载各边界长度之和对比；如果不一致，说明有顶点漏了或重复了。

另外值得把单位和投影与结果一起记录下来。一个写着「2.22 英亩」却不说明坐标是州平面米、 UTM 米还是测量英尺的面积，距离完全不可用只差三个词。

结果的换算

从	到	乘以
平方米	英亩	0.000247105381
平方米	公顷	0.0001
平方英尺	英亩	0.0000229568411
英亩	公顷	0.40468564224
公顷	英亩	2.4710538147
平方英里	英亩	640

本文用到的工具

坐标算面积（亩/公顷）由顶点清单求面积、亩数与周长单位换算器英亩、公顷、平方英尺与平方米州平面坐标换算先得到可以参与运算的投影坐标两点距离与方位角核对相邻顶点之间的边界长度