圆曲线与竖曲线计算

计算原理

平曲线由一组互相锁定的要素描述。转角 Δ 是两条切线之间的方向总变化量， 半径 R 决定圆的大小。由这两个量可以推出其余全部要素：

• 切线长 T = R · tan(Δ/2)，从交点（JD）到直圆点（ZY）的距离。
• 曲线长 L = R · Δ_rad，即弧长；Δ 需化为弧度参与计算。
• 弦长 LC = 2R · sin(Δ/2)，连接直圆点与圆直点（YZ）的直线。
• 矢距（中矢距）M = R(1 − cos(Δ/2))，曲线中点距弦的垂距。
• 外矢距 E = R(sec(Δ/2) − 1)，交点距曲线中点的距离。

国内习惯把直圆点记作 ZY、圆直点记作 YZ，对应英文的 PC 与 PT；交点记作 JD， 对应英文的 PI。桩号以「+」分隔公里与米，如 12+34.500 表示距起点 1 234.500 米。 ZY 桩号 = JD 桩号 − T，YZ 桩号 = JD 桩号 − T + L。

曲度 D 是长度 100 米（或 100 英尺）的圆弧所对的圆心角。这里有两套定义： 按弧长定义的曲度有 D_arc = 5729.578 / R（以英尺为单位时）， 按弦长定义的曲度用于铁路，数值略有差异。本工具同时给出两种，避免用错。

竖曲线与变坡点

两条相邻纵坡相交处需要插入竖曲线平顺过渡。设进口坡度 g1、出口坡度 g2（均以百分数表示， 上坡为正），则坡度代数差 A = g2 − g1。A 为正表示坡度在增大，是凹形竖曲线 （谷线）；A 为负则是凸形竖曲线（脊线）。

竖曲线用二次抛物线，其曲率半径在整段上近似为常数。K 值是竖曲线长 L 与坡度代数差之比， 即 K = L / |A|，含义是「每变化 1% 坡度所需的曲线长度」。K 值越大，线形越缓； 设计规范按行车视距和舒适度对不同设计速度规定最小 K 值，是竖曲线设计中最常用的控制指标。

竖曲线起点 PVC 桩号为变坡点桩号 PVI 减 L/2，终点 PVT 为 PVI 加 L/2。 变坡点处如需给出高程，本工具按抛物线与两端切线的关系逐桩计算： y = x²/(2·R) 形式的修正量叠加在进出口坡度线上。 谷线或脊线的最高（最低）点位置由切线坡度为零求得，可能落在曲线之外，此时会给出提示。

缓和曲线与超高

直线段与圆曲线之间曲率突变会让车辆受到突然的离心力变化，因此高等级公路和铁路在两者之间 插入缓和曲线（回旋线）。缓和曲线长度由超高渐变率和横向力系数共同控制， 常见经验值是设计速度每 1 km/h 取 1 米左右，但最终须按规范取值。

超高是曲线段把路面外侧抬高以平衡离心力的做法，超高横坡 i 与设计速度 v、圆曲线半径 R 的关系为 i + f = v²/(127R)，其中 f 是横向力系数。半径越小、速度越高，所需超高越大。 超高缓和段内路面横坡由正常路拱逐渐过渡到全超高，其渐变率应与缓和曲线长度匹配。

本页计算的是纯圆曲线要素。若项目设置了缓和曲线，圆曲线半径与转角不变，但切线长、 曲线长和主点桩号都会因缓和曲线段的加入而变化，需在平曲线综合计算中另行处理。

桩号与断链

桩号（stationing）是沿路线中线按固定间距标注里程的系统，国内以「K」表示公里， 后接米数，如 K12+340；英美习惯写作 12+34.00，以百英尺为单位。 本工具输入输出统一采用「公里+米」写法，12+34.500 即 1 234.500 米。

当路线因改线、复测或分段设计而里程不连续时，会设置断链（station equation）—— 同一位置同时存在两个桩号，例如 K1+200 = K1+180，表示后一段的里程比前一段少 20 米。 断链两侧的坐标连续但里程不连续，统计里程长度时必须扣除断链的长短。 本页不处理断链，涉及断链的路线应分段计算后再拼接。

什么时候用这个工具

曲线要素在道路、铁路、管线与渠道设计中反复出现，典型场景：

• 由转角与半径求切线长，用于确定交点两侧直线段的长度和主点位置。
• 由半径求曲度，校核是否满足规范对最小半径的要求。
• 已知竖曲线长度反求 K 值，核对是否符合设计速度对应的最小值。
• 计算竖曲线范围内的逐桩设计高程，用于出施工图或复核土方量。
• 把设计单位给出的主点桩号与自己的推算结果相互印证。

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